.png)
.png)
.png)
Свойства
треугольника Паскаля
СВОЙСТВО 1.
Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно. Основное свойство.
СВОЙСТВО 3.
Первая диагональ треугольника Паскаля – это натуральные числа, идущие по порядку.
СВОЙСТВО 5.
Третья диагональ треугольника Паскаля - это «пирамидальные» числа или, более точно, тетраэдральные числа, показывающие сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).
СВОЙСТВО 7. (числа Фибоначчи)
Паскаль, наверное, не знал, что числа Фибоначчи скрыты в его треугольнике. Это обстоятельство было обнаружено только в XIX веке — элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел). Красным цветом выделены числа Фибоначчи. Сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи.
СВОЙСТВО 9.
Если номер строки треугольника Паскаля – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.
СВОЙСТВО 2.
Каждое число треугольника Паскаля равно сумме предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.
СВОЙСТВО 4.
Вдоль второй диагонали треугольника выстроены треугольные числа (Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n-е треугольное число — это сумма n первых натуральных чисел) и их обобщения на случай пространств всех размерностей.
СВОЙСТВО 6.
Сумма чисел, стоящих в любой строке треугольника, вдвое больше суммы чисел, стоящей в предыдущей строке, поскольку при построении каждой строки числа, стоящие в предыдущей, сносятся дважды.
СВОЙСТВО 8.
Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих пространство, ограниченный теми диагоналям, на пересечении которых стоит это число.
СВОЙСТВО 10.
Сумма чисел, стоящих на четных местах, равна сумме чисел, стоящих на нечетных местах.
СВОЙСТВО 11.
Сумма чисел первой (самой верхней) строки равна 1. Следовательно, суммы чисел, стоящих в строках треугольника Паскаля, образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, ...
СВОЙСТВО 12.
Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения n (a+b) по степеням.
Мартин Гарднер "Математические новеллы"
(М., Мир, 1974):
"Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".